인공지능 - 음성 인식 DFT (Discrete Fourier Transform)

DFT (Discrete Fourier Transform, 이산 푸리에 변환)

1. DFT (Discrete Fourier Transform)란?

DFT는 입력 신호를 주파수 영역으로 변환하는 중요한 수학적 도구입니다. 주어진 공식을 통해서 수집된 데이터를 주파수 성분으로 분석할 수 있습니다.

목적은! 음향을 주파수로 분해하는것!

• 주파수 성분 분석: 음성 신호를 구성하는 다양한 주파수 성분을 추출하여, 각 주파수 성분의 크기와 위상을 분석합니다.

• 특징 추출: 음성 인식에 중요한 주파수 대역을 강조하고, 노이즈를 줄여 음성의 특징을 더 명확하게 합니다.

• 시간-주파수 변환: 시간 도메인의 신호를 주파수 도메인으로 변환하여, 주파수 특성을 기반으로 신호를 분석하고 처리합니다.

음성 신호를 다양한 주파수 성분으로 분해하는 과정을 악기에 비유하자면, 이는 여러 악기가 동시에 연주하는 곡을 각 악기의 소리로 분리하는 것과 비슷합니다. 이렇게 분리된 각 악기의 소리를 분석하면, 전체 곡의 구조와 특징을 더 잘 이해할 수 있습니다.

이산 푸리에 변환(DFT)은 이산적인 시간 신호를 주파수 성분으로 변환하는 도구입니다. DFT는 다음과 같은 수식으로 정의됩니다:

\[y_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} Y_k \cdot \exp \left( i \cdot 2 \pi \frac{k}{N} n \right)\]

구성 요소:

1. $ y_n $
   • 수집한 데이터(input signal)
   • 입력 신호의 n번째 샘플입니다.
2. $ N $
   • 주기(Discrete time index)
   • 신호의 샘플 수, 즉 주기입니다. 데이터의 총 샘플 개수를 나타냅니다.
3. $ k $
   • discrete frequency index
   • 주파수 인덱스입니다. 0부터 N-1까지의 값을 가지며, 각 주파수 성분을 나타냅니다.

4. $ Y_k $

   • k번째 frequency에 대한 Spectrum의 값
   • k번째 주파수 성분에 대한 스펙트럼 값입니다. DFT의 출력으로, 각 주파수 성분의 크기와 위상을 나타냅니다.

5. \(\exp \left( i \cdot 2 \pi \frac{k}{N} n \right)\)

   • 복소 지수 함수
   • 이 항은 복소 지수 함수로, 각 주파수 성분을 시간 영역으로 변환하는 역할을 합니다.
   • $ i $는 허수 단위로, \(\exp \left( i \cdot \theta \right) = \cos(\theta) + i \sin(\theta)\)로 표현됩니다.

설명:

DFT는 이산 시간 신호를 주기적으로 반복된다고 가정할 때, 주파수 영역으로 변환하여 주파수 성분들을 분석합니다. 주파수 성분 $ Y_k $ 들을 다시 시간 영역 신호로 변환할 때, 모든 주파수 성분들의 사인 함수와 코사인 함수의 합으로 나타낼 수 있습니다.

즉, 입력 신호가 다양한 주파수 성분으로 구성되어 있을 때, DFT를 통해 이러한 주파수 성분들을 분리하여 각각의 크기와 위상을 구할 수 있습니다. 이 과정은 신호 처리, 통신, 음성 및 영상 처리 등 다양한 분야에서 매우 유용하게 사용됩니다.

비유

이 과정을 오케스트라의 연주로 비유할 수 있습니다.

• 주파수 성분 $ Y_k $: 각 악기의 소리입니다. 오케스트라에는 여러 악기가 있고, 각각의 악기가 고유한 주파수 성분을 가지고 있습니다.
• 복소 지수 함수 $ \exp \left( i \cdot 2 \pi \frac{k}{N} n \right) $: 각 악기가 특정 시간에 어떤 소리를 내야 하는지를 결정하는 악보입니다.
• 합산 $ \sum_{k=0}^{N-1} $: 모든 악기의 소리를 합쳐서 하나의 음악을 만듭니다.
• 평균 $ \frac{1}{N} $: 전체 음악을 조화롭게 만들기 위해 각 악기의 소리를 조절합니다.

2. 오일러의 공식(Euler’s formula)? 복소지수함수란?

오일러의 공식은 복소 지수 함수와 삼각 함수를 연결하는 중요한 수학적 정리입니다. 복소 지수 함수는 복소수 $ z = a + bi $의 지수 함수 형태로, 실수부와 허수부로 이루어진 복소수의 지수 함수를 의미합니다. 특히, 복소 지수 함수는 오일러의 공식(Euler’s formula)을 통해 주로 설명됩니다.

오일러의 공식 (Euler’s formula)

오일러의 공식은 다음과 같이 표현됩니다: \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\)

여기서,

• $ e $: 자연로그의 밑
• $ i $: 허수 단위, $ i^2 = -1 $
• $ x $: 실수 값

의미와 사용

오일러의 공식은 복소 지수 함수가 주기적인 성질을 갖고 있으며, 복소수 평면에서 회전 운동을 나타낼 수 있음을 보여줍니다. 이를 통해 복소 지수 함수는 사인 함수와 코사인 함수를 이용하여 주기적인 신호를 표현할 수 있습니다.

삼각 함수의 필요성

• $ \cos(x) $: 실수 부분을 나타냅니다. 복소 평면에서의 $ x $축 성분입니다.
• $ \sin(x) $: 허수 부분을 나타냅니다. 복소 평면에서의 $ y $축 성분입니다.

오일러의 공식에서 삼각 함수 $ \cos(x) $와 $ \sin(x) $가 필요한 이유는, 복소 지수 함수가 복소 평면에서의 회전을 나타내기 때문입니다. 이는 복소수의 실수 및 허수 부분을 각각 $ \cos(x) $와 $ \sin(x) $로 나타내어, 복소 평면에서의 위치를 정확히 정의할 수 있게 합니다.

예시

예를 들어, 복소 지수 함수 $ e^{i\theta} $는 단위원(반지름이 1인 원) 상의 한 점을 나타냅니다:

\[e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\]

이로써, 복소 지수 함수는 주파수 신호의 위상과 진폭을 효과적으로 표현할 수 있게 됩니다. DFT에서 사용하는 복소 지수 함수 $ \exp \left( i \cdot 2 \pi \frac{k}{N} n \right) $는 주어진 주파수 성분이 시간 도메인에서 어떻게 변하는지를 나타내는 데 사용됩니다.

활용 예

DFT에서는 각 주파수 성분을 계산할 때, 복소 지수 함수를 사용하여 시간 영역 신호를 주파수 영역으로 변환합니다. 예를 들어, $ \exp \left( i \cdot 2 \pi \frac{k}{N} n \right) $는 주파수 $ \frac{k}{N} $인 성분이 시간 $ n $에서 어떤 값을 가지는지를 나타냅니다.

복소 지수 함수의 중요한 특성은 주기적이고, 실수부(코사인)와 허수부(사인)로 구성되어 있다는 점입니다. 이를 통해 신호의 주파수 성분을 효과적으로 분석하고 합성할 수 있습니다.

3. 지수, 실수부, 허수부, 복소수 란?

지수 (Exponent)

지수는 특정 숫자가 얼마나 많이 곱해지는지를 나타내는 수학적 표현입니다. 예를 들어, $ a^b $에서 $ a $는 밑(base)이고, $ b $는 지수(exponent)입니다. 지수 함수는 이런 형태로 표현됩니다. 일반적으로 지수 함수는 $ e $를 밑으로 사용하는 경우가 많으며, 이는 자연 지수 함수라고 불립니다.

실수부 (Real Part)

복소수는 실수부와 허수부로 이루어져 있습니다. 복소수 $ z $는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다: \(z = a + bi\) 여기서 $ a $는 복소수의 실수부(real part)입니다. 이는 복소수의 실제 값 부분을 나타냅니다.

허수부 (Imaginary Part)

복소수에서 $ b $는 허수부(imaginary part)라고 불립니다. 이는 허수 단위 $ i $와 곱해진 값으로 구성됩니다. 허수 단위 $ i $는 다음과 같은 특성을 가집니다:

\[i^2 = -1\]

즉, 허수부는 복소수의 상상의 부분을 나타냅니다.

예시 - 복소수 $ z = 3 + 4i $를 예로 들면:

• 실수부는 3
• 허수부는 4

복소수 (Complex Number)

복소수는 실수와 허수의 합으로 이루어진 수입니다.

일반적으로 다음과 같이 표현됩니다:

\[z = a + bi\]

여기서,

• $ a $: 실수 부분
• $ bi $: 허수 부분, $ i $는 허수 단위로 $ i^2 = -1 $

복소수는 실수 축과 허수 축으로 구성된 복소 평면에서 나타낼 수 있습니다.

복소수의 시각화

복소수를 복소수 평면(complex plane)에서 표현할 때, 실수부는 수평축(실수축, x축)에, 허수부는 수직축(허수축, y축)에 대응됩니다. 복소수는 이 평면에서 한 점으로 나타낼 수 있습니다.

복소 지수 함수 예시

복소 지수 함수는 오일러의 공식을 통해 이해할 수 있습니다: \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\) 이때, $ e^{ix} $는 복소 지수 함수이며, 이를 풀면 실수부와 허수부로 나누어집니다:

• 실수부는 $ \cos(x) $
• 허수부는 $ \sin(x) $

복소 지수 함수는 주기적이며, 복소수 평면에서 원을 그리며 회전하는 형태를 가집니다. 이러한 특성 때문에 주파수 분석이나 신호 처리에서 매우 유용하게 사용됩니다.